微积分，
原来如此

0.1速度表上的 72

你坐在车里，看一眼仪表盘，速度表的指针稳稳地指着 72 公里/小时。你每天都看它，从没怀疑过。

现在，我们只追问一个词：它显示的是此刻的速度。

这不是抬杠。两千四百年前，古希腊的芝诺就提出过同样的难题：一支飞行的箭，在每一个瞬间都占据一个确定的位置，在那一瞬间它是静止的；既然每一瞬间都静止，箭怎么会飞起来？

这个问题困住了人类将近两千年。解开它的，是两个年轻人。

0.2两个年轻人，同一个答案

一个从农庄的独处里走出来，一个从数学门外汉起步；一个重视运动的直觉，一个重视符号的力量。他们都回答了芝诺的难题，让“一瞬间的速度”变得既有意义、又能计算。这就是微积分的一半。

另一半，藏在你车上另一块仪表——里程表里。第 1 章会把这两半摆在一起。

莱布尼茨的故事还说明了一件事：从零开始学微积分，并不需要天赋异禀。他用三年从门外汉走到了前沿；你只需要按顺序搭好几块积木，就能看懂他当年写下的那两个符号。

0.3这本书怎么走

很多人害怕微积分，并不是因为它难，而是因为课本从定义开始，从不先说“为什么”。本书反过来：先讲为什么，再讲怎么做，最后讲它是什么、能做什么。这是黄金圈的顺序。

整本书只围绕三个动作、三句话展开。现在你不必懂，读完时你会发现自己能把它们推导出来：

阅读时，你会反复遇到几种小标记：

• 问 / 答：苏格拉底式的对话。试着先自己回答“问”，再看“答”。
• 停一下：一个值得思考片刻的问题，答案折叠着。先想，再展开。
• 类比：用生活里的东西给新概念一个轮廓；紧跟着的“是 / 不是”会告诉你类比在哪里失效。
• 符号卡：每个希腊字母或数学符号第一次出现时，都会有一张紫色边框的小卡片，告诉你它怎么读（附音标）、从哪里来、为什么选它。尾章还附有全书符号读音表。本书的读音按国内课堂通行的英文读法给出，并附中文近似读音。
• 出处：书中的史实、数据和符号来历，都已联网逐条核查，结论与出处列在书末附录《事实核查与出处》里。
• 伏笔：第 1 章会在你的日常生活里埋下六个问题——天气预报、地下勘测、存款利息、吃药、仓库进货、火箭发射。它们会在学到对应工具的章节里被部分回收，在第 13 章全部揭晓。

上一章留下的问题：他们发明的这门学问，到底解决了什么问题？

课本通常这样开头：“设函数 f(x) 在点 x₀ 的某邻域内有定义……”读到这里，大多数人已经合上了书。

本章换一种开法：先不碰任何公式，而是跟你过一天普通的日子。你会发现，微积分要解决的问题，你每天都在遇到，只是从来没有人告诉你它们叫这个名字。

1.1你的一天里藏着微积分

下面六个场景，每一个都藏着一个你也许从没认真想过的问题。现在只提问，不作答。请把它们记在心里——它们是本书埋下的六个伏笔，会在后面的章节里一个一个被揭开。

六个场景横跨气象、地质、金融、医药、物流和航天，看起来毫不相干。本章结束时你会看到：它们问的其实只有两类问题。而这两类问题，就藏在你汽车的仪表盘上。

1.2仪表盘上的两个问题

汽车仪表盘上有两块最重要的表。

第一块，速度表，回答的是“此刻有多快”。它关心的是一个量变化的快慢，我们叫它变化率。

第二块，里程表，回答的是“到现在一共走了多远”。它关心的是一个量一点一点攒起来的总和，我们叫它累积。

这两个问题听起来很简单。它们难在哪里？

1.3第一性原理：麻烦只来自“不均匀”

我们用第一性原理，把问题拆到最朴素的地方：麻烦到底来自哪里？

不是来自数字太大，也不是来自公式太复杂。麻烦只来自一件事：变化不均匀。

• 速度不变时，“路程 = 速度 × 时间”，一步到位。
• 水龙头流量不变时，“水量 = 流量 × 时间”，一步到位。
• 利率不变、只算一次时，“利息 = 本金 × 利率”，一步到位。

只要世界是均匀的，乘法和除法就够了。可是真实世界几乎从不均匀：车速在变，气温在变，血液里的药物浓度在变，火箭的质量在变。

于是，微积分的全部策略可以浓缩成一句话：既然整体不均匀，那就把它切到足够小，小到每一小块里几乎是均匀的；在每一小块里用小学算术，再把结果拼起来。

“切小”有两种用法，正好对应两块表。

1.4第一个动作：放大

先看速度表的问题：此刻有多快。

把汽车的“位置随时间变化”画成一条曲线。车速在变，所以这条线是弯的。弯线没有统一的“坡度”，所以说不出一个统一的速度。

但如果我们拿一台显微镜，对准曲线上的某一点，不断放大，会发生什么？

放得越大，曲线越直。放到足够大时，它在那一小段上就是一条直线。而直线的坡度，一除就有。

这就是导数的思想：一瞬间的变化率，就是把曲线放大到变成直线之后，那条直线的坡度。本书把这条放大后的直线叫作切线。

1.5第二个动作：切碎，再加起来

再看里程表的问题：一共走了多远。

速度一直在变，没法用一个乘法算完。但我们可以把 2 小时切成很多小段，比如每段 1 秒。在 1 秒之内，车速几乎不变，于是这 1 秒走的路 ≈ 这 1 秒的速度 × 1 秒。把 7200 个小段的结果加起来，就是总路程。

画在图上，这件事有一个清楚的样子：把速度画成曲线，总路程就是曲线下面那块面积。切碎，就是把这块面积切成细长条。

切得越细，每一条越接近“高度不变”，拼起来的总和就越接近真实答案。这就是积分的思想：一个不均匀变化的总量，就是把它切成无数小块，每块用乘法，再全部加起来。

1.6两块表之间的秘密

到这里，微积分似乎是两门独立的手艺：一门叫“微分”，负责放大看变化率；一门叫“积分”，负责切碎求总和。古希腊人和中国古代数学家其实早就会一些“切碎求面积”的技巧，而“求切线”的技巧在 17 世纪上半叶也已零星出现。

那么，牛顿和莱布尼茨到底发明了什么，值得争得你死我活？

1.7回看六个伏笔

有了这两块表，我们回头给早上的六个问题归个类。

你会注意到，最有用的问题往往两类兼有：我们知道的是“每一刻怎样变”，想知道的是“最后会怎样”。天气预报就是典型：物理定律告诉我们空气在每一刻怎样流动、怎样升温，我们要的却是明天下午的天空。要从前者走到后者，必须同时用上放大和累加。这正是微积分被发明出来的原因。

上一章留下的问题：这两个问题困扰了人类两千年。是谁、又是怎样一步步逼近答案的？

说“牛顿和莱布尼茨发明了微积分”，就像说“某某人发明了汽车”——没错，但漏掉了两千年的接力。本章先讲接力，再讲那场争吵：它为什么爆发、怎样收场、真相是什么，以及它留给后人的代价。

2.1第一棒：芝诺的难题，阿基米德的切片

公元前 5 世纪，古希腊哲学家芝诺提出了几个让人头疼的悖论。最有名的一个是“阿基里斯追乌龟”：飞毛腿阿基里斯让乌龟先跑 100 米。他跑完这 100 米时，乌龟又往前爬了一点；他追上这一点时，乌龟又往前爬了一点……如此无穷无尽，他似乎永远追不上。

谁都知道阿基里斯能追上，可说不清错在哪里。芝诺真正的问题是：无穷多段路程加起来，能不能是一个有限的数？这个问题要等到第 4 章才能被干净利落地回答。

比芝诺晚两百年的阿基米德没有纠缠哲学，而是动手去算。他想求抛物线围成的一块弓形面积，办法是往里面塞三角形：先塞一个大的，再在两边的缝隙里各塞一个小的，再往更小的缝隙里塞更小的……每一轮三角形的总面积是上一轮的 1/4。他证明了：这块弓形的面积，恰好是第一个三角形的 4/3。

他用同样的思路，拿正 96 边形去夹住圆，算出圆周率在 223/71 与 22/7 之间，也就是 3.1408 到 3.1429 之间。这种“用越来越细的已知图形去逼近未知图形”的方法，后人叫它穷竭法。它已经是切碎再加起来的雏形了。

2.2东方的一棒：刘徽割圆，祖暅求积

公元 263 年，魏晋数学家刘徽为《九章算术》作注。为了求圆的面积和周长，他从圆内接正六边形开始，把边数一次次翻倍：12、24、48、96……他写下了一段后来常被引用的话：

割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。——刘徽《九章算术注》

翻译成白话：切得越细，损失越少；一直切到不能再切，多边形就和圆合为一体，一点也不差了。这句话几乎就是“极限”思想的文学版。

又过了约两百年，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”：两个立体如果在每一个高度上的截面面积都相等，它们的体积就相等。这正是把立体切成无数薄片来比较体积。欧洲人直到 17 世纪才由意大利人卡瓦列里重新提出同样的原理。

2.317 世纪的前夜：万事俱备

既然古人早有切片思想，为什么微积分直到 17 世纪才诞生？

工具有了，需求也来了。远洋航行要算船的位置，炮兵要算炮弹的轨迹，天文学家要解释开普勒刚发现的行星椭圆轨道——这些都是关于“不断变化的运动”的问题。于是 17 世纪上半叶，一大批人各自摸到了微积分的边角：

• 开普勒在 1615 年研究酒桶的容积，把桶切成薄片来算；
• 卡瓦列里在 1635 年提出“不可分量”方法；
• 费马在 1630 年代找到了求曲线最高点、最低点的办法；
• 剑桥首任卢卡斯数学教授巴罗（牛顿的前辈和提携者，1669 年把教席让给了牛顿），已经用几何的形式触到了“求切线”与“求面积”之间的互逆关系。

拼图的碎片散落了一地。缺的是一个人，把它们拼成一套任何人照着做都能算出答案的通用算法。结果，出现了两个人。

2.4牛顿：乡间一年里的“流数”

序章只讲了两个年轻人的开头。现在把他们的故事讲完整。

牛顿是从运动出发的。他把一切变量都想象成随时间“流动”的量，叫作“流量”；流量变化的速度，叫作“流数”。求流数，就是我们说的求导数；从流数反推流量，就是求积分。

可他几乎不发表。1669 年他写了《分析学》，只在朋友之间传阅；1671 年写成的《流数法》，直到他去世后的 1736 年才出版。1687 年那部震动世界的《自然哲学的数学原理》，推导里处处用到微积分的思想，写出来的却几乎全是古典几何的样子。

为什么藏着？一个常被提到的原因是，他早年发表光学论文后遭到胡克等人的批评，从此对公开争论极度厌恶。数学家阿诺尔德有一句挖苦：在“不发表”和“为优先权不停争斗”之间，牛顿两样都选了。

2.5莱布尼茨：巴黎的符号大师

莱布尼茨是从求和与求差出发的。他在研究数列时注意到：一列数“逐项相减”与“逐项累加”是一对互逆的操作。把这个直觉推到无穷小，就有了 d 与 ∫ 这一对互逆的符号。

他对符号有近乎执念的追求。他一生都梦想发明一种“通用语言”，让推理像算术一样可以机械地进行。dy/dx 这个记号就体现了这种追求：它读起来像一个分数，而在很多计算里，它也真的可以像分数一样约分和移项。第 5 章讲链式法则时，你会亲眼看到这种记号有多聪明。

1684 年，他在莱比锡的《教师学报》上发表了第一篇微分论文，题目很长，意思是“一种求极大、极小和切线的新方法”；1686 年又发表了积分的论文。瑞士的伯努利兄弟读后迅速掌握并发扬了这套方法。1696 年，法国的洛必达出版了世界上第一本微积分教科书，用的是莱布尼茨的体系。在欧洲大陆，微积分从此传开了。

2.61676 年的两封信

两人其实有过直接的接触。莱布尼茨 1673 年和 1676 年两次访问伦敦，1676 年还在牛顿的朋友柯林斯那里看到过牛顿的部分手稿。同一年，通过皇家学会秘书奥尔登堡转交，牛顿给莱布尼茨写了两封长信，介绍自己关于无穷级数的成果。

在第二封信里，牛顿把流数术的核心藏进了一串字母密码：

6accdae13eff7i3l9n4o4qrr4s8t12ux意思是：有 6 个 a、2 个 c、1 个 d……把原句的字母按字母表顺序数出来。原句是拉丁文：“给定一个含有任意多个流量的方程，求出流数；以及反过来。”

这是当时常见的“时间戳”做法：先把发现藏起来，将来若有争议，再公布原文证明自己早就知道。可以想见，莱布尼茨不可能从这串字母里读出什么。1677 年他回信时，已经坦然地用自己的 d 记号展示了求切线的方法。

2.7战争：1699–1716

头二十年相安无事。1696 年，洛必达在教科书序言里还承认，牛顿的《原理》“几乎全是这种演算”。

火药桶是 1699 年点着的。瑞士数学家法蒂奥（牛顿的密友）公开暗示：莱布尼茨是“第二发明人”，可能借用了牛顿的东西。1705 年初，莱比锡《教师学报》上一篇匿名书评评论牛顿 1704 年随《光学》发表的求积论文，字里行间暗示牛顿的流数不过是莱布尼茨微分的另一种写法。后来查明，书评出自莱布尼茨之手，他本人在 1716 年的一封信里也承认了。

这下轮到英国人愤怒了。1708 年，牛顿的门生凯尔在皇家学会的《哲学汇刊》上直指莱布尼茨剽窃。莱布尼茨向皇家学会申诉，要求主持公道。

学会成立了一个委员会。问题在于，学会会长正是牛顿本人。委员会从未听取莱布尼茨的陈述，1712 年便完成了报告，1713 年初以《通信集》为名出版，裁定牛顿是第一发明人。今天的研究者已经查明，这份报告的主体是牛顿亲自起草的。1715 年，皇家学会的刊物上又出现一篇为这份报告叫好的匿名长文，作者还是牛顿。

莱布尼茨一方也并不干净：1713 年，他匿名散发了一份攻击牛顿的单页传单，其中引用了一封指责牛顿的来信；写信的约翰·伯努利事后郑重否认写过这封信。直到 1716 年去世，他也没有接受那份裁决。

2.8结局

结局有三层。

第一层，个人的结局。两人的晚年境遇截然不同。牛顿晚年声望如日中天，1727 年去世后，由大法官、两位公爵和三位伯爵抬棺，隆重安葬在威斯敏斯特教堂中殿。莱布尼茨晚年失去了宫廷的青睐，1716 年在汉诺威去世时身后冷清，只有巴黎科学院为他致了悼词。

第二层，国家的结局。英国赢了优先权，却在记号和方法上把自己孤立起来。1812 年，剑桥的几个学生——包括后来设计出机械计算机的巴贝奇、天文学家赫歇尔和数学家皮科克——成立了“分析学会”，要把欧陆的数学引回英国。巴贝奇留下一句双关语：他们要推行“纯粹的 D 主义”，反对大学里的“点时代”（dot-age，谐音 dotage，“老糊涂”）。1817 年，剑桥考试终于开始使用莱布尼茨的 d 记号。

第三层，历史的结局。1849 年，德国学者格哈特在整理莱布尼茨的手稿时，发现了他亲手摘抄的牛顿《分析学》片段，但摘抄的时间无法确定。此后一百多年，科学史家反复比对两人的手稿与通信，得出了今天的共识。

2.9真相：同一座山的两条路

现代科学史的主流结论可以归纳为三句话：

1. 牛顿先发现：他在 1665–1666 年就掌握了方法，比莱布尼茨早约十年。
2. 莱布尼茨先发表：1684 年公开发表，比牛顿早约二十年，而且他的符号体系让这门学问得以迅速传播。
3. 两人独立发明：他们的出发点、概念和记号截然不同，莱布尼茨的手稿显示了一条独立的思想路径。也有研究者指出，莱布尼茨事后修改过部分笔记的日期，这一点至今仍有争议。

2.10还没打牢的地基

故事还没完。牛顿和莱布尼茨的方法好用得出奇，但有一个致命的逻辑漏洞：他们都依赖“无穷小量”——一个比任何正数都小、却又不等于零的量。计算时先把它当成非零来做除法，算完再把它当成零扔掉。

1734 年，英国哲学家、主教贝克莱写了一本《分析学家》，辛辣地讥讽说：这些无穷小量，既不是有限的量，也不是零，那它们难道是“逝去的量的鬼魂”吗？

数学家们无言以对，但微积分实在太好用，大家便一边用一边等。这一等就是一百多年。直到 1821 年法国的柯西在《分析教程》里用“极限”重新定义一切，再到 1860 年代德国的魏尔斯特拉斯用严格的 ε-δ 语言把它说清，鬼魂才被彻底驱散。

这里的 ε 和 δ 是两个希腊字母，分别读作 epsilon /ˈɛpsɪlɒn/（中文近似“艾普西隆”）和 delta /ˈdɛltə/（中文近似“德尔塔”）。它们是什么意思、为什么偏偏选这两个字母，第 4 章会用一场“挑战游戏”细讲。

这段历史告诉我们一件重要的事：用好一件工具，和说清它为什么成立，是两回事。人类先会用、后说清，花了一百五十年。你不必重走这段弯路——接下来的几章，我们会按“说清”之后的顺序，一块一块搭积木。

上一章留下的问题：故事讲完了。要亲手使用这件工具，第一块积木是什么？

第 2 章说过，古人早就会切片，微积分却要等到 17 世纪，因为那时才有了一种能把所有曲线写成同一种形式的语言。这种语言的核心，叫函数。本章只做两件事：说清函数是什么，说清怎样衡量它变得多快。

3.1变化总是“随着什么”在变

这种“给一个，对应一个”的关系，就是函数。被你自由给出的那个量叫自变量，通常写作 x（或时间 t）；跟着变的那个量叫因变量，通常写作 y。写成 y = f(x)，读作“y 是 x 的函数”。

3.2把规则画出来：图像

函数最有力的表示法，是把它画出来：横轴放输入，纵轴放输出，每一对 (x, y) 画一个点，所有点连起来就是一条曲线。这正是笛卡尔的发明。

学会读图，你就从图像上一眼读出两样东西：

1. 高度：某个输入对应的输出是多少。比如下午 2 点气温多少度。
2. 陡峭程度：输出变得有多快。比如气温上午升得快，下午升得慢。

第一样东西，普通的查表就够了；第二样东西，才是微积分真正关心的。我们需要一把“量陡峭程度”的尺子。

3.3直线的陡峭程度：斜率

先从最简单的情况出发：直线。

假设出租车起步价 13 元，之后每公里 2.5 元。车费 y 与里程 x 的关系是 y = 13 + 2.5x。画出来是一条直线。多走 1 公里，车费多 2.5 元；多走 4 公里，多 10 元。无论从哪里开始数，“多出来的车费 ÷ 多走的里程”都是 2.5。

这个比值就是斜率：

斜率 = 输出的变化 ÷ 输入的变化 = Δy / ΔxΔx 读作“delta x”，意思是“x 变了多少”

请特别留意单位。车费斜率的单位是“元 / 公里”，速度的单位是“公里 / 小时”，气温升高的快慢是“度 / 小时”。任何变化率的单位都是“输出单位 每 输入单位”。这个“每”字，就是变化率的指纹。以后你在任何地方看到“每”，都可以想到：这里藏着一个变化率。

3.4曲线的陡峭程度：平均变化率

直线处处一样陡，所以一个斜率就够了。曲线不行：它有的地方陡，有的地方平。

我们能做的第一步，是在曲线上取两个点，连一条直线——这条线叫割线——用割线的斜率，代表这一段的平均变化率。

平均速度很有用，但它会“抹平”细节。这 4 分钟里，车可能一会儿快一会儿慢，平均值告诉不了你第 3 分钟那一刻有多快。要知道“那一刻”，只能把两个点靠得更近：把 4 分钟缩成 1 分钟，再缩成 1 秒……

3.5常见的函数家族

世界上的变化千姿百态，但大多数都能由几个基本家族拼出来。认识它们，就像认识乐器：每一种都有自己的“音色”——也就是自己的变化方式。

表里的 log x（对数）问的是：10 要自乘几次才得到 x？比如 log 1000 = 3。震级每高 1 级，地震释放的能量约增大 32 倍，所以用对数来“压缩”这种跨越好几个数量级的量。

表里最后一列“变化性格”，就是后面几章要精确计算的东西。第 5 章会给出每个家族的变化率公式；第 10 章会看到，指数家族“变化率与自身成正比”这个性格，几乎统治了金融、医药和人口的全部故事。

3.6撞上那堵墙：0 ÷ 0

现在，让我们正面撞一次序章里那堵墙。

一块石头从高处自由下落，t 秒后下落了 4.9t² 米。问：第 2 秒那一刻，它有多快？

按平均速度的思路，从第 2 秒到第 2 + Δt 秒：

平均速度 = [4.9(2 + Δt)² − 4.9 × 2²] ÷ Δt

取 Δt = 1 秒，得 24.5 米/秒；取 0.1 秒，得 20.09；取 0.01 秒，得 19.649；取 0.001 秒，得 19.6049。

困难被压缩成了一句话：我们需要让 Δt 无限小，却又不能让它等于 0。牛顿和莱布尼茨靠“无穷小”绕过了这堵墙，却留下了贝克莱讥讽的“鬼魂”。下一章，我们用 19 世纪的办法正式拆掉它。

上一章留下的问题：平均变化率一算就有；可一瞬间的变化率，Δt = 0 时成了 0/0。怎样让 Δt 无限小，却又不等于 0？

这一章是整座阶梯里最“哲学”的一级，也是人类花了一百五十年才迈上去的一级。好消息是，一旦换个问法，它就变得出奇地朴素。

4.1换一个问法

先把上一章的数据整理成一张表。

这就是极限的全部秘密：不问“到了那里是多少”，只问“往那里去时，结果向哪里靠拢”。我们把它写成：

lim_{Δt → 0}（平均速度）= 19.6读作“当 Δt 趋于 0 时，平均速度的极限是 19.6”

4.2割线的去向：切线

把同样的想法画到图上。在曲线 y = x² 上固定一点 (1, 1)，另一个点从远处向它滑过来。每个位置都连一条割线。

这就回答了第 1 章留下的疑问：“放大到足够大，曲线就变成直线”——那条直线到底是哪一条？它就是割线的极限，也就是切线。“放大”和“让两点无限靠近”，是同一件事的两种说法。

4.3芝诺的回答：无穷多项可以加成有限

极限不仅能处理“无限小”，也能处理“无限多”。回到第 2 章的阿基里斯。

设阿基里斯每秒跑 10 米，乌龟每秒爬 1 米，乌龟先跑 100 米。阿基里斯跑完 100 米用 10 秒，乌龟又前进 10 米；再追 10 米用 1 秒，乌龟又前进 1 米；再追 1 米用 0.1 秒……总时间是：

10 + 1 + 0.1 + 0.01 + … = 11.111… 秒

无穷多段时间，加起来只有约 11.1 秒。芝诺的错误在于默认了“无穷多个正数相加，一定是无穷大”。下面这张图说明它为什么不对。

“无穷多个数相加”在数学里叫级数。它的值被定义为“前 n 项之和”在 n 趋于无穷时的极限。第 11 章会看到，计算器算 sin 和 eˣ，靠的就是这种无穷的加法。

4.4把“无限接近”说严格：一场挑战游戏

“越来越接近”这种话，听起来还是有点虚。19 世纪的魏尔斯特拉斯把它变成了一场可以判输赢的游戏。

数学家习惯用希腊字母 ε 表示挑战者要求的误差，用 δ 表示应战者给出的范围。所以这个定义被称为 ε-δ 定义（读作“epsilon-delta 定义”）。

用这两个符号，定义可以写成：

对任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得只要 0 < |Δt| < δ，就有 |平均速度 − 19.6| < ε

ε-δ 定义第一次读会觉得绕，这很正常。你只需要记住它的精神：“无限接近”被翻译成了“任何精度要求都能被满足”。这句话里没有任何“无穷小量”，也没有任何鬼魂。

4.5两个值得认识的极限

第一个：sin x / x。当 x（用弧度表示的角度；弧度就是“弧长 ÷ 半径”，180° 等于 π ≈ 3.14 弧度，0.1 弧度约 5.7°）趋于 0 时，分子分母都趋于 0，又是 0/0 的样子。数值实验会告诉你答案：

它的意思是：角度很小时，sin x ≈ x。物理学家分析钟摆、工程师计算桥梁的微小形变、光学设计里处理近轴光线，都在大量使用这个近似。这正是“放大看，曲线就变直”的又一个例子：正弦曲线在原点附近，放大后就是直线 y = x。

严格证明它时，要用到一个很形象的工具——夹逼定理：如果一个量总是被夹在两个量中间，而这两个量都趋向同一个数，那么中间这个量也只能趋向那个数。就像一个人被两名警察一左一右押着走，警察走进了警局，他也只能跟着进去。

第二个：(1 + 1/n)ⁿ。当 n 越来越大，它依次是 2、2.25、2.594、2.705、2.717……最后趋向一个不再变化的数：2.71828…。这个数叫 e。它是伏笔 C（利息拆得无限细，钱会不会无限多）的答案所在，第 10 章再细说。

4.6连续：笔不离纸

有了极限，还能顺手说清另一个日常直觉：连续。

直觉上，连续就是“画的时候笔不离纸”。用极限的语言说：当 x 趋向 a 时，f(x) 的极限恰好等于 f(a)——往那里去的方向，和那里实际的值，没有错位。

大多数自然量是连续的：气温、身高、水位，不会从一个值瞬间跳到另一个值。连续有一个很有用的推论，叫介值定理：连续变化的量，不会跳过中间的任何值。你 10 岁时身高 1.4 米，15 岁时 1.7 米，那么在这之间必然有某一刻，你恰好是 1.5 米高。

4.7鬼魂被驱散

回头看贝克莱的批评。牛顿的做法是：先用一个“无穷小”的 Δt 做除法，算完再把它当作 0 扔掉——前后矛盾。

极限的做法是：Δt 从头到尾都是普通的、不为零的数。我们合法地化简出 19.6 + 4.9Δt，然后只问一个问题：Δt 趋于 0 时，它去往哪里？答案 19.6 由 ε-δ 游戏担保。没有任何一步除以零，也没有任何一步“既是零又不是零”。

上一章留下的问题：有了极限，终于可以正式定义“一瞬间的变化率”。它长什么样，又该怎么算？

前四章搭好了两块积木：函数（描述变化的语言）和极限（驯服“无限接近”的工具）。把它们叠在一起，就得到微积分的第一个主角——导数。

5.1导数的定义

把第 3 章的平均变化率和第 4 章的极限合起来，就是导数的定义：

f ′(x) = lim_{h → 0} [f(x + h) − f(x)] / h分子：输出变了多少；分母：输入变了多少；lim：让输入的变化趋于 0

读法有三种，说的是同一件事：

1. 代数上：平均变化率在区间缩成一点时的极限。
2. 几何上：曲线在这一点的切线斜率。
3. 物理上：这一瞬间的变化速度——位置的导数是速度，速度的导数是加速度。

序章里速度表的悖论到这里有了答案。“此刻 72 公里/小时”说的不是“一瞬间走了多少路”，而是：在那一刻前后取越来越短的时间段，平均速度去往的那个数是 72。它是一个极限，因此既有意义，又可以测量。实际的速度表和测速仪也无法真正测量“一瞬间”，它们是在极短时间内测出位置（或车轮转过的圈数）的变化，再用这个平均速度去逼近瞬时速度。

5.2亲手算第一个导数：正方形长大

我们来求 f(x) = x² 的导数。先不用公式，用一张图。

新增面积 = 2x·dx + (dx)²。除以 dx，得到 2x + dx。让 dx 趋于 0，结果是 2x。

(x²)′ = 2x

这个结果和第 4 章对得上：在 x = 1 处，切线斜率是 2；石头下落 4.9t²，在第 2 秒的速度是 4.9 × 2 × 2 = 19.6。

请留意那个琥珀色的小角。它是“两个小量相乘”，比任何一个小量本身都小得多。导数的全部计算，本质上都是在做同一件事：保留和 dx 成正比的部分，扔掉比它更小的部分。

5.3导数本身也是一个函数

曲线上每一点都有一个切线斜率。把“每一点的斜率”也画成一条曲线，就得到一个新函数：导函数，简称导数。

学会看这对图，你就学会了导数最实用的读法：

• f ′ > 0：f 在上升；f ′ 越大，升得越猛。
• f ′ < 0：f 在下降。
• f ′ = 0：f 此刻不升不降，可能在山顶或谷底。第 6 章会把这一点变成“找最优解”的武器。

5.4求导的几条法则

如果每求一次导数都要从极限的定义出发，那就太慢了。好在只需几条法则，就能像搭积木一样求出绝大多数函数的导数。

表中的 e（约 2.718）和自然对数 ln 第 10 章才会正式登场，这里先记住结果即可。

乘积法则值得多看一眼，因为它就是图 5-1 的推广：一个长方形，长 u、宽 v 同时在长，新增面积是“宽方向长的那条” u′v 加上“长方向长的那条” uv′，角上那个“小乘小”照例忽略。

它在生活里也随处可见。一家店的收入 = 单价 × 销量。如果单价每月涨 2%，销量每月跌 1%，收入怎么变？按乘积法则，收入的变化率约为 2% − 1% = 1%。

5.5链式法则：一串齿轮

现实中的变化往往是一环套一环的。给气球打气：时间决定了打进多少气，气量决定了半径，半径决定了表面积。表面积对时间的变化率是多少？

这就是链式法则：

dy/dx = (dy/du) × (du/dx)左边看起来就像右边把 du“约掉”了

第 2 章说莱布尼茨的记号“会替你思考”，指的就是这里：dy/dx 虽然严格说不是分数，但在链式法则中它表现得像分数一样可以约分。你几乎不用记公式，写下来它自己就对了。

举个例子：y = (3x + 1)⁵。令 u = 3x + 1，则 y = u⁵。外层对 u 求导得 5u⁴，内层对 x 求导得 3，相乘：dy/dx = 15(3x + 1)⁴。

链式法则的应用远不止课本习题。今天训练人工智能的核心算法“反向传播”，本质上就是在一个有上亿个齿轮的链条上，反复使用链式法则。第 12 章还会回来谈它。

5.6变化率的变化率：二阶导数

导数是一个函数，所以它也可以再求导。位置求一次导得到速度，再求一次导得到加速度。坐车时你感觉不到匀速，却能感到加速和刹车——你的身体对二阶导数敏感。

5.7三种记号，一个意思

你会在不同的书里看到不同的导数记号。它们是历史留下的“方言”：

• 牛顿记号 ẋ：头上一个点，专指对时间求导，物理学里常用；
• 拉格朗日记号 f ′(x)：简洁，适合强调“导数也是函数”；
• 莱布尼茨记号 dy/dx：适合链式法则和换元，也最能提醒你导数是“两个微小变化之比”。

最后一个小技巧：有时 y 和 x 的关系不是写成 y = … 的形式，比如单位圆 x² + y² = 1。我们照样可以对等式两边同时求导（把 y 看作 x 的函数，用链式法则）：2x + 2y·y′ = 0，于是 y′ = −x/y。这叫隐函数求导，它再次说明：只要曲线光滑，放大看就是直线，不管它的方程写成什么样。

上一章留下的问题：会算导数了。可是，知道一个量每一刻变多快，到底有什么用？

导数至少能干五件实事：找最优、判断形状、从平均推断瞬间、用直线代替曲线做近似、解方程。本章一件一件看，还会顺手回收第一个伏笔。

6.1找最优：山顶的坡度为零

先做一个动手题。一张 30 厘米见方的纸板，四个角各剪掉一个边长为 x 的小正方形，把四边折起来，做成一个无盖的盒子。剪多大，盒子装得最多？

盒子底边长 30 − 2x，高 x，体积 V = x(30 − 2x)²。求导并化简：

V ′ = (30 − 2x)(30 − 6x)

令它等于 0，得 x = 15（纸板剪没了，舍去）或 x = 5。剪 5 厘米，体积 = 5 × 20 × 20 = 2000 立方厘米。

这套方法可以一般化成三步：第一，把目标写成一个变量的函数；第二，求导并令它为 0，解出候选点；第三，连同区间端点一起比较，挑出最好的那个。企业定价、工程设计、物流调度里的无数“最优化”问题，都以这三步为起点。

6.2判断形状：二阶导数与凹凸

导数为 0 的点不一定是山顶，也可能是谷底。怎么区分？看二阶导数。

• 在山顶，坡度从正变成负——坡度在减小，二阶导数 < 0，曲线像一顶帽子（向下弯）。
• 在谷底，坡度从负变成正——坡度在增大，二阶导数 > 0，曲线像一只碗（向上弯）。

盒子问题里，V ″(5) = −120 < 0，所以 x = 5 确实是山顶。二阶导数描述的“弯曲方向”在很多地方都有用：经济学家用它判断“边际收益递减”，工程师用它计算横梁的弯曲，公路设计师用它控制弯道的急缓。

6.3从平均推断瞬间：区间测速

高速公路上有一种测速方式叫区间测速：在一段路的两端各设一个抓拍点，用“路程 ÷ 用时”算你的平均速度。

拉格朗日中值定理说：如果一个量在一段区间上连续、并且处处光滑（可导），那么区间里至少有一个时刻，它的瞬时变化率恰好等于整段的平均变化率。它是连接“平均”和“瞬间”的桥梁，也是后面证明微积分基本定理时的关键一步。

6.4用直线代替曲线：线性近似

“放大看，曲线就变直”不只是一个比喻，它可以直接拿来算数。

问：√4.1 约等于多少？我们知道 √4 = 2，而 √x 的导数是 1/(2√x)，在 x = 4 处等于 1/4。意思是：在 4 附近，x 每增加 1，√x 大约增加 1/4。现在 x 增加了 0.1，所以：

√4.1 ≈ 2 + 0.1 × 1/4 = 2.025真值 2.02485…，误差不到万分之二

一般地，在已知点 a 附近，f(a + Δx) ≈ f(a) + f ′(a)·Δx。这叫线性近似。工程师每天都在用它：把复杂的非线性系统在工作点附近“拉直”，就能用简单得多的线性方法去分析和控制。飞机的自动驾驶、电网的稳定分析，很多都从这一步开始。

6.5解方程：牛顿法

你的计算器怎样算出 √2？一种经典的办法，是牛顿本人提出的。

求 √2，就是求方程 x² − 2 = 0 的根，也就是曲线 y = x² − 2 与横轴的交点。牛顿的想法是：先随便猜一个点，在那里用切线代替曲线，顺着切线滑到横轴上，得到一个更好的猜测；再重复。

x_新 = x_旧 − f(x_旧) / f ′(x_旧)

牛顿法的收敛速度非常快：离答案足够近之后，每迭代一次，正确的小数位数大约翻一倍。今天的科学计算软件、工程仿真、金融定价里，到处是它和它的变体。

6.6化解 0/0：洛必达法则

第 4 章的 sin x / x 在 x → 0 时是 0/0 的样子。有了导数，可以换一个角度看：分子分母都从 0 出发，谁“跑得快”，比值就由谁决定。而“跑多快”正是导数：

lim sin x / x = lim cos x / 1 = 1

这就是洛必达法则：0/0 型的极限，可以换成分子分母各自导数之比的极限（在一定条件下）。一个小趣闻：这条法则以第 2 章那位写了第一本教科书的洛必达命名，但它实际上是约翰·伯努利发现的——1694 年，洛必达与伯努利约定：每年付给伯努利 300 里弗尔，伯努利则把自己的新发现告诉洛必达、不告诉别人。这条法则就是伯努利当年在信里寄给洛必达的，后来被写进了洛必达的教科书。

6.7一环扣一环：相关变化率

给气球打气，每秒打进 100 立方厘米。当半径是 10 厘米时，半径每秒长多少？

体积 V = (4/3)πr³。两边对时间求导（链式法则）：dV/dt = 4πr²·dr/dt。代入 dV/dt = 100、r = 10：

dr/dt = 100 ÷ (4π × 100) ≈ 0.08 厘米/秒

这解释了一个你可能注意过的现象：刚开始吹气球时，它“噌”地鼓起来；越往后越吹不大。原因是同样的气量，要摊到越来越大的表面积 4πr² 上。

上一章留下的问题：导数把整体拆成了每一刻的变化。反过来——已知每一刻的变化，能不能拼回整体？

从这一章开始，我们换到仪表盘的另一块表：里程表。前四章一直在做“放大”，这一章做“切碎，再加起来”。

7.1从速度回到路程

这个发现很重要：任何“变化率 × 时间”的累积，都可以画成“曲线下的面积”。于是，“求总量”这个物理问题，变成了“求面积”这个几何问题——正是阿基米德和刘徽研究了两千年的问题。

7.2切得越细，越准

我们用一个具体例子动手算。一辆车从静止附近起步，速度（米/秒）是 v(t) = 2 + 0.5t²。前 4 秒走了多远？

把 4 秒切成 4 段，每段 1 秒。用每段开头那一刻的速度代表整段：第 1 段 2 米/秒，第 2 段 2.5，第 3 段 4，第 4 段 6.5。路程 ≈ (2 + 2.5 + 4 + 6.5) × 1 = 15 米。

速度一直在增加，用“开头的速度”会系统性地低估。切得更细，低估就更少：

两列数字从不同方向逼近同一个数，这又是第 4 章的极限。我们把这个极限值定义为曲线下的精确面积。取点方式（左端、中点、右端）不影响极限，只影响逼近得快慢——中点法快得多。

7.3积分号：一句话写下整个过程

上面的过程是：切成 n 条，每条宽 Δt，高 v(t)，面积 v(t)·Δt，全部加起来，再让 n 趋于无穷。莱布尼茨把这整件事压缩成了一个符号：

∫₀⁴ v(t) dt∫ 是拉长的 S（summa，总和）；v(t) dt 是一条细条的面积；下标 0、上标 4 是从哪里加到哪里

这个符号可以当成一句话来读：“从 0 到 4，把每一条‘高 v(t)、宽 dt’的细条面积全部加起来。”它叫定积分。1854 年，德国数学家黎曼用极限给它下了严格的定义（论文 1868 年才正式发表），所以“切成细条求和”也叫黎曼和。

7.4面积也可以是负的

如果车开到一半开始倒车，速度变成负数，积分会怎样？

这正是积分“带符号”的含义：它算的是净累积。银行账户里，一天的净变化 = 收入 − 支出；一个月的余额变化 = 每天净变化的累加。水库、库存、碳排放的“净值”，都遵循同样的逻辑。如果想要“总共走了多少路”，就要对速度的绝对值积分。

7.5一切累积都是积分

“面积”只是积分的一种画像。只要一个量是“某个变化率在一段范围上的累积”，它就是一个积分：

请注意单位：被积函数的单位 × 区间的单位 = 积分的单位。这是第 3 章“斜率单位里有个‘每’”的镜像：导数除以输入单位，积分乘以输入单位。第 8 章会说明，这种镜像关系不是巧合。

表中第五行的 AUC，就与伏笔 D（为什么一日三次吃药）有关：药物的疗效和毒性，很大程度上取决于血药浓度曲线下的面积。第 13 章会细讲。

7.6平均值：把起伏摊平

天气预报说“今天平均气温 22°C”，这个平均是怎么算的？如果只取最高温和最低温的平均，会忽略一天里气温停留在不同温度的时间长短。更精确的办法是：把一天的温度曲线积分，再除以 24 小时。

平均值 = ∫_a^b f(x) dx ÷ (b − a)

几何上，它是把曲线下起伏的面积“推平”成一个等面积的长方形，长方形的高就是平均值。前面那辆车 4 秒走了 18.667 米，平均速度就是 18.667 ÷ 4 ≈ 4.67 米/秒。

7.7一个令人疲惫的问题

上一章留下的问题：用无穷多个小矩形求和，理论上可行，实际上累死人。有没有捷径？

这一章是全书的高峰。你已经搭好了所有需要的积木：函数、极限、导数、积分。现在只差最后一步——看清它们之间的一条隐秘通道。牛顿和莱布尼茨争了一辈子的，说到底就是“谁先看清了这条通道”。

8.1让面积“动”起来

第 7 章的积分都有固定的起点和终点，比如从 0 到 4。现在我们做一个小改动：固定起点，让终点变成一个可以移动的 x。

想象曲线下有一道幕布，从左边的起点一直拉到 x。幕布盖住的面积，记作 A(x)。你把幕布往右拉，A 就变大；往左推，A 就变小。A(x) 是一个新的函数，叫面积函数，也叫累积函数。

在汽车的例子里，f 是速度表的读数，A(x) 就是到时刻 x 为止里程表跳过的公里数。

8.2先下个注

现在提一个问题。请先别往下读，凭直觉下个注。

8.3揭晓：细条的高度就是增长率

推理只有三步，每一步你都已经会了：

1. 幕布从 x 拉到 x + h，面积增加了 A(x + h) − A(x)，就是那条琥珀色细条。
2. 细条很窄，它的顶几乎是平的，高度约为 f(x)，所以面积 ≈ f(x) × h。
3. 于是 [A(x + h) − A(x)] / h ≈ f(x)。让 h 趋于 0，左边正是导数的定义，“约等于”变成了“等于”。

A ′(x) = f(x)对连续的 f 成立。严格证明时，细条的真实高度被夹在细条内 f 的最小值和最大值之间，h → 0 时两者都趋于 f(x)——这正是第 4 章的夹逼定理

这就是微积分基本定理的第一部分：对一个函数先积分、再求导，就回到了它自己。网页版封面的“微积分显微镜”一直在展示这件事：无论你把点移到哪里，“面积此刻增长的速度”总等于“曲线此刻的高度”。

8.4捷径：牛顿–莱布尼茨公式

这个发现立刻给出了第 7 章苦苦寻找的捷径。

这就是基本定理的第二部分，通常称为牛顿–莱布尼茨公式：

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)，其中 F ′ = f求总量 = 找一个“导数是 f”的函数，再做一次减法

用汽车的话说：想知道这 4 秒走了多远，不必把每一瞬间的速度都加起来，只需看看里程表：结束时的读数减去开始时的读数。这句话几乎是废话；但把它翻译成数学，就把“无穷多项求和”变成了“一次减法”。

再试一个历史名题。阿基米德用无穷多个三角形求出了抛物线下的面积。现在，求 y = x² 在 0 到 1 之间的面积：x³/3 的导数是 x²，所以面积 = 1/3 − 0 = 1/3。一行字，就完成了阿基米德那部专著的核心计算。

8.5原函数与那个神秘的 +C

“导数是 f 的函数 F”叫作 f 的原函数。它不唯一：2t + t³/6 的导数是 2 + 0.5t²，2t + t³/6 + 100 的导数也是，因为常数的导数是 0。

所以，所有原函数写在一起是 F(x) + C，C 是任意常数，这叫不定积分，记作 ∫f(x) dx。求定积分时做减法，C 会自动抵消，所以用哪个原函数都一样。而在后面的微分方程里，C 需要由“起点的读数”来确定，它有一个专门的名字：初始条件。

8.6两条路，原来是一条

现在，回到第 1 章那张仪表盘：

• 从里程表推速度表，是求导：放大看，曲线就变直。
• 从速度表推里程表，是积分：切成碎片，再加起来。
• 二者互为逆运算：变化率与总量，是同一件事的两面。

三句口号，至此全部推导完毕。

8.7为什么这是人类思想的一座高峰

第 2 章说，阿基米德会求面积，费马会求切线，巴罗已经用几何的形式触到了两者的互逆关系。那牛顿和莱布尼茨的功劳到底在哪里？

答案就在这一章。他们第一次清楚地看到并证明了求切线与求面积是互逆的，并把它变成了一套任何人照着做都能算出答案的算法。从此，两千年里一个个需要天才灵感的“手工艺品”，变成了流水线上的标准件：会求导，就会求积分。

它的影响远远超出数学。自然规律大多以“变化率”的形式出现：牛顿第二定律说力决定加速度，热传导定律说温差决定热量流动的速率。人类能直接写下的是“每一刻怎么变”，而想知道的是“最后会怎样”。基本定理正是连接这两者的桥。没有它，就没有经典力学、没有天气预报，也没有下一章要讲的“用变化的规律预言未来”。

这也回答了序章的问题：“一瞬间有多快”为什么值得发明一门新数学？因为算出“一瞬间”只是第一步；一旦看清它和“总量”之间的这座桥，人类就握住了从自然规律推算整个世界的钥匙。难怪牛顿和莱布尼茨后来都那么在意“谁先看清了它”。

上一章留下的问题：基本定理把积分变成了“找原函数”。可原函数不总是一眼看得出——怎么找？找到后又能算什么？

基本定理说，积分就是“求导倒过来”。那么，每一条求导法则倒过来，就是一件积分工具。本章前半部分打开工具箱，后半部分用它去算体积、算功，并回收两个伏笔：火箭能跑多快，以及怎样“看见”地下。

9.1换元法：链式法则倒着用

求 ∫ 2x cos(x²) dx。

系统的做法叫换元：令 u = x²，则 du = 2x dx，原式变成 ∫ cos u du = sin u + C。莱布尼茨的记号又一次替我们思考：du = 2x dx 这一步，看起来就像把 du/dx = 2x 两边同乘 dx。

9.2分部积分：乘积法则倒着用

乘积法则是 (uv)′ = u′v + uv′。两边积分再移项，得到：

∫ u dv = uv − ∫ v du把一个难积的式子，换成一个可能好积的式子

例：∫ xe^x dx。令 u = x、dv = e^x dx，则 = xe^x − ∫ e^x dx = (x − 1)e^x + C。你可以求导验证：结果正是 xe^x。

最后一行不是凑数的。有些函数看起来很简单，原函数却无法用初等函数写出来。最著名的例子是 e^−x²——统计学里的“钟形曲线”（正态分布）就是它。考试成绩、身高分布、测量误差都近似服从这条曲线，而计算“落在某个范围内的概率”就是求它下方的面积。对这种积分，人们只能回到第 7 章：切碎，再加起来，交给计算机去算。

9.3体积：把立体切成薄片

第 2 章的祖暅说：每一层截面相同，体积就相同。积分把这个思想变成了计算：体积 = 每一层截面积 × 厚度，全部加起来。

工厂计算储罐的容量、医院用 CT 断层图像估算肿瘤体积、开普勒当年计算酒桶的容积，用的都是这个办法。CT 本身更是积分的杰作：X 射线穿过人体时，衰减的总量是沿路径的积分；从成千上万个角度的积分反推出每一处的密度，是 1917 年拉东就解决了的数学问题，五十多年后才被做成机器，1979 年的诺贝尔生理学或医学奖授予了 CT 的两位开创者。

9.4功：力随位置变化时

把一个箱子推动 10 米，用力 50 牛，做功 50 × 10 = 500 焦耳。如果力是变化的呢？比如把卫星从地面送向太空，地球的引力随距离的平方减小：离地心越远，拉得越轻。

办法依然是切碎：把路程切成一小段一小段，每段里力几乎不变，功 ≈ 力 × 小段长度，再全部加起来。所以功 = ∫ 力 dx。

9.5无限长的路，有限的功：反常积分

要让一个物体彻底摆脱地球引力，需要把它从地面（离地心 R）一直推到无穷远。积分的上限是“∞”，这叫反常积分。它的值定义为：先积到一个很远的 b，再让 b 趋于无穷，看结果去往哪里——又是极限。

引力正是按 1/x² 减弱的，所以把物体推到无穷远所需的功是有限的：∫_R^∞ GMm/x² dx = GMm/R。（G 是引力常数，M 是地球质量，m 是物体质量。）让物体的动能 ½mv² 等于这个功，就得到逃逸速度：

v = √(2GM/R) = √(2gR) ≈ √(2 × 9.8 × 6,371,000) ≈ 11.2 公里/秒即第二宇宙速度；g 为地表重力加速度，R 为地球半径（米）

11.2 公里/秒大约是步枪子弹速度的十几倍，从北京到上海只需不到两分钟。假如引力是按 1/x 减弱的，逃逸所需的功就是无穷大，任何火箭都飞不出地球。宇宙的几何，藏在一个反常积分是否收敛里。

9.6找不到原函数时：数值积分

工程和科学里遇到的积分，多数没有漂亮的原函数；有时连被积函数本身都没有公式，只有一串传感器读数。这时，计算机回到最朴素的办法：切碎，再加起来。

不过它加得比左端点法聪明。梯形法把每条的顶连成斜线，辛普森法用一小段抛物线去贴合顶部。对光滑的曲线，同样切 100 条，辛普森法的误差往往比左端点法小好几个数量级。你手机里的计步器估算路程、电表累计度数、飞控计算机积算位置，都在做这件事。

上一章留下的问题：到此为止都是已知函数去求导或积分。现实常常反过来：只知道变化的规律，不知道函数本身。

牛顿说“力决定加速度”，没说物体下一秒在哪里；医生知道“药物每小时被代谢掉一定比例”，却想知道 12 小时后血液里还剩多少。自然界递给我们的，几乎总是变化的规律，而我们想要的是结果。把前者变成后者，就是本章的主题：微分方程。我们从一笔存款说起。

10.1利息拆得无限细：e 的诞生

1683 年，瑞士数学家雅各布·伯努利（第 2 章里那对兄弟中的哥哥）研究了一个问题：年利率 100%，存 1 元，如果把利息拆开、更频繁地计入本金，一年后能拿到多少？

10.2e 为什么特别：导数等于自己

连续计息的钱有一个性质：此刻增长的速度，正比于此刻的金额。账户里有 1 万元，每年按 3% 的速度长；长到 2 万元，就按每年 600 元的速度长。

写成方程：y ′ = r · y。满足它的函数是 y = C·e^rt。特别地，当 r = 1 时，e^x 的导数就是它自己——这是表 5-1 里那一行的来历，也是 e 在数学中无处不在的原因：凡是“增长速度正比于自身大小”的东西，都会长成 e 的指数形状。

e 的反函数叫自然对数 ln。它回答相反的问题：要长到原来的几倍，需要多久？比如年利率 3% 连续复利，翻倍需要 ln 2 ÷ 0.03 ≈ 23 年。金融界常用的“72 法则”（72 ÷ 年利率百分数 ≈ 翻倍年数，这里是 24 年）就是它的心算版。

10.3微分方程：只写规律，不写答案

y ′ = ry 这样的式子，叫微分方程：它不直接告诉你 y 是什么，只告诉你 y 每一刻怎样变化。解微分方程，就是从“变化的规律”反推出“函数本身”。

10.4衰减：同一个方程，四种面孔

把 r 换成负数，y ′ = −ky，得到的是指数衰减：减少的速度正比于剩下的量。它的特征是半衰期——无论剩多少，减半所需的时间都一样，等于 ln 2 ÷ k。

• 药物代谢：大多数药物在体内的清除近似遵循这个规律。医生根据半衰期决定服药间隔——这是伏笔 D 的前一半，后一半留给下一章。
• 放射性衰变：碳-14 的半衰期约为 5730 年。生物死后停止吸收碳-14，测出遗骸中碳-14 还剩多少，就能反推它死了多久。剩 1/2 约 5730 年，剩 1/4 约 11,460 年。这就是考古学家给古代遗址“断代”的依据，也是伏笔 B 中“地下的年代”那一半。
• 冷却：一杯热咖啡降温的速度，正比于它与室温的温差（牛顿冷却定律）。用它可以算出一杯 90°C 的茶，放多久才降到适合入口的温度。
• 电容放电：电路里的电容放电时，电压同样按指数衰减。

10.5增长总有天花板：logistic 曲线

指数增长不可能永远持续。细菌在培养皿里起初成倍分裂，但营养和空间有限，增长终会放缓。1838 年，比利时数学家韦吕勒在 y ′ = ry 上加了一个“刹车”：

y ′ = ry(1 − y/K)K 是环境容量。y 很小时，括号约等于 1，近似指数增长；y 接近 K 时，括号趋于 0，增长停止

S 形曲线随处可见：新产品的市场渗透、传染病的累计感染人数、一个人学一门技能的熟练度。它提醒我们：看到一段指数增长时，要问天花板在哪里。把早期的指数趋势直接外推，是预测里最常见的错误之一。

10.6解不出公式怎么办：一步一步走出未来

大多数微分方程写不出公式解。但这难不倒我们，因为方程本身就是一份“每一步怎么走”的说明书。

最朴素的走法叫欧拉法（由 18 世纪的欧拉提出）：站在起点，用方程算出此刻的斜率；沿着这个斜率走一小步；到了新位置，再算斜率，再走一步……这就是“放大看，曲线就变直”的又一次应用：在一小步之内，把曲线当作直线。

实际工程中用的是更精巧的方法（比如龙格–库塔法），思想却完全一样：把未来切成小段，每段按当下的变化规律走一步，再把所有步子累加起来——先放大，再切碎求和。

上一章留下的问题：计算器只会加减乘除，它是怎样算出 eˣ 和 sin x 的？

计算器的芯片里只有加法器和乘法器，却能在一瞬间给出 sin 0.5 = 0.4794255…。它是怎么做到的？答案藏在第 4 章芝诺那个问题里：无穷多个数加起来，可以是一个有限的数。如果能把 sin x 写成无穷多个简单项之和，只取前几项，就能用加减乘除把它算到任意精度。

11.1几何级数：最听话的无穷加法

第 4 章的 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1，是几何级数的一个例子：每一项都是前一项乘以同一个比 q。只要 |q| < 1，它就有一个整齐的和：

a + aq + aq² + aq³ + … = a / (1 − q)推导：设和为 S，则 qS 恰好是 S 去掉第一项，所以 S − qS = a

这个公式能解释一个让很多人不服气的等式：0.999… = 1。0.999… 就是 0.9 + 0.09 + 0.009 + …，首项 0.9，公比 0.1，和为 0.9 ÷ 0.9 = 1。它不是“无限接近 1”，而是等于 1——因为一个无穷级数的值，被定义为它的极限。

11.2每一项都趋于 0，和却可能无穷大

为什么会发散？把项分组看：1/3 + 1/4 > 1/2，1/5 + … + 1/8 > 1/2，1/9 + … + 1/16 > 1/2……可以分出无穷多组，每组都大于 1/2，加起来当然没有尽头。这和第 9 章的图 9-2 是同一个现象：1/x 下的面积无限，1/x² 下的面积有限。

教训是：各项趋于 0 只是必要条件，还要趋于 0 得足够快。数学家为此发明了许多“收敛判别法”，核心思路都是拿待判断的级数去和几何级数这样“已知听话”的级数比较：如果它的项最终缩小得比某个公比小于 1 的几何级数还快，它就一定收敛。

11.3泰勒级数：用多项式模仿任何光滑函数

多项式（a + bx + cx² + …）是计算器最擅长的东西：只需要乘法和加法。那么，能不能造一个多项式，让它在某点附近和 sin x 一模一样？

按这个思路一直做下去，得到的就是泰勒级数（英国数学家泰勒于 1715 年发表）：

sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + …
e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + …n!（读作 n 的阶乘）= 1 × 2 × … × n，增长极快，所以后面的项缩小得极快

11.4亲手当一回计算器

算 sin 0.5，只取前三项：

0.5 − 0.125/6 + 0.03125/120 = 0.5 − 0.0208333 + 0.0002604 = 0.4794271真值 0.4794255…，只用三项，误差已不到百万分之二

算 e（即 e¹），取前 7 项：1 + 1 + 0.5 + 0.16667 + 0.04167 + 0.00833 + 0.00139 = 2.71806；取前 11 项，得到 2.7182818，已经准确到小数点后 7 位。

实际的计算器和电脑芯片还会配合其他技巧：先利用周期性把角度缩到很小的范围（小角度时级数收敛得最快），再用专门优化过的多项式；有些芯片用一种叫 CORDIC 的“旋转逼近”算法。但核心思想始终是同一个：用有限次的加减乘除，去逼近一个无穷过程的极限。

11.5误差：知道自己错多少，才敢用

工程师从不追求“精确”，而是追求“误差已知且足够小”。泰勒级数的好处在于，截断之后的误差可以估计：对于正负交替、项越来越小的级数（比如 sin），误差不超过第一个被扔掉的项。上面算 sin 0.5 时，扔掉的第一项是 0.5⁷/5040 ≈ 0.0000016，实际误差正在这个范围内。

“够用就好”是微积分思维的重要一面：GPS 定位、飞行控制、股票期权定价，所用的都不是精确值，而是误差被严格控制的近似值。

11.6一日三次：药物的几何级数

现在回到伏笔 D 的后一半。

服下第 n 剂后的峰值是 1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/2ⁿ⁻¹，一个几何级数。服药次数趋于无穷时，峰值趋于 1 ÷ (1 − 1/2) = 2。药量不会无限累积，而是停在一个稳态上。几次服药后，离稳态就不远了：4 个半衰期后达到稳态的约 94%，5 个半衰期后约 97%。这就是为什么很多药要“连续服用几天才起效”。

11.7另一种无穷拼图：傅里叶级数

泰勒用多项式拼函数。1807 年前后，法国的傅里叶在研究热传导时提出了另一种拼法：任何周期性的信号，都可以拆成许多不同频率的正弦波之和。

这个想法后来无处不在：音乐播放器把声音拆成频率，扔掉人耳听不见的成分来压缩文件；降噪耳机测出噪声的频率，再发出反相的声波去抵消；图片压缩格式 JPEG 用的是它的近亲（离散余弦变换）；Wi-Fi 和 5G 同时在许多频率上传输数据。它们都在做同一件事：把复杂的东西拆成无穷多个简单的东西，只保留需要的那些。

上一章留下的问题：到目前为止，变化只沿一个方向。气温却同时随经度、纬度、高度和时间变化——怎么办？

好消息是：多元微积分没有新思想。它只是把“放大”和“切碎再加起来”搬到了更多的方向上。这一章是大一微积分的最后一块积木，也是通往天气预报、人工智能和工程优化的门。

12.1多元函数：一张等高线地图

地面上每一点都有一个海拔。给出经度和纬度两个输入，得到一个输出——这是一个二元函数 h(x, y)。

它的图像是一片起伏的曲面，很难画在纸上。地图绘制者早就找到了办法：把海拔相同的点连成线，画成等高线地图。你在徒步地图上见过它：线越密的地方，坡越陡。天气图上的等压线、等温线，也是同一回事。

12.2偏导数：一次只动一个

“只让一个变量动、其他变量冻住”时求出的导数，叫偏导数，记作 ∂h/∂x 和 ∂h/∂y。例如 h = x² + 3xy：∂h/∂x = 2x + 3y，∂h/∂y = 3x。

偏导数是经济学家最爱的工具之一。“其他条件不变的情况下，价格每涨 1 元，销量减少多少”——这句经济学里的套话，说的正是一个偏导数。

12.3梯度：最陡的上坡

把两个偏导数排成一对，(∂h/∂x, ∂h/∂y)，就得到一个箭头，叫梯度，记作 ∇h。它有两个性质：

1. 方向：指向该点上坡最陡的方向，且总是与等高线垂直。
2. 长度：就是那个最陡方向上的坡度。

为什么一对偏导数就能决定所有方向的坡度？还是“放大看，曲线就变直”：光滑的曲面放大到足够细，局部就是一块平面（切平面）。平面的倾斜只需要两个数来描述——东西方向的坡度和南北方向的坡度。一元时是“曲线局部是直线”，二元时是“曲面局部是平面”，思想完全一样。

12.4梯度下降：人工智能怎样学习

反过来走，沿负梯度方向，就是最陡的下坡。这一点支撑着今天整个人工智能行业。

训练一个 AI 模型，本质是在找一组参数，让“预测误差”最小。误差是参数的函数——只不过参数不是 2 个，而可能是几十亿、上千亿个。你无法画出这座“误差地形”，但可以站在当前位置，算出梯度，然后朝下坡方向迈一小步；再算梯度，再迈一步……

那么梯度怎么算？模型是一层套一层的函数，参数的影响要穿过许多层才能传到最终误差上——这正是第 5 章的链式法则。把链式法则从输出端往输入端系统地倒推一遍，就能高效地算出误差对每个参数的偏导数，这个算法叫反向传播。一个大语言模型的训练，就是在一个维度极高的曲面上，反复执行“链式法则求梯度、沿负梯度走一步”。

12.5重积分：切成小方柱

一元积分把区间切成小段；二元积分就把平面区域切成小方格。求一座山的土方量：把地图切成许多小方格，每格上方的土柱体积 ≈ 海拔 × 方格面积，全部加起来。

体积 = ∬ h(x, y) dx dy两个积分号：在两个方向上切碎，再加起来

实际计算时，常常一次只积一个方向：先把每一条东西向的“切片”积出面积，再把所有切片沿南北方向积起来。这正是祖暅“切片求体积”思想的直接推广。三重积分同理：第 9 章说的地下矿体产生的重力，就是在三维空间里把每一小块的贡献加起来。

12.6有约束的最优：拉格朗日一瞥

现实中的优化几乎总有约束：预算有限、材料有限、时间有限。比如要在“成本不超过 100 万”的前提下让产量最大。

拉格朗日在 18 世纪给出了一个几何上很漂亮的答案：在最优点，目标函数的等高线恰好与约束曲线相切——两者的梯度指向同一条直线。如果不相切，沿着约束线再挪一点，目标还能更好。这个方法叫拉格朗日乘子法，是经济学、工程设计、机器学习中约束优化的起点。

12.7偏微分方程：天气、热与波

第 10 章的微分方程只有一个自变量（时间）。当一个量同时随空间和时间变化——比如一块铁板上各点的温度、大气中各处的风速——描述它的规律就要用偏导数写成，叫偏微分方程。

• 热传导方程：某点温度升高的速度，取决于它比周围平均温度低多少。热量总是从热处流向冷处，把起伏抹平。
• 波动方程：描述声波、地震波、光波怎样传播。第 13 章的地震勘探靠的就是它。
• 纳维–斯托克斯方程：描述流体（空气、水）的运动，是天气预报和飞机设计的核心。

这些方程大多没有公式解，只能用第 10 章的思路：把空间切成网格、把时间切成小步，让计算机一格一格、一步一步地推。

上一章留下的问题：工具已经齐全。走出教室，看它们在真实世界里怎样工作。

第 1 章在你的一天里埋下了六个伏笔。一路走来，每个伏笔都被回收了一部分。现在，所有工具都已在手，我们逐一把它们讲完。每一节都从当初那个问题开始。

13.1天气预报：把明天算出来

理查森的梦想，是在 1950 年才第一次实现的。那一年，查尼、冯·诺伊曼等人用电子计算机 ENIAC 完成了第一次数值天气预报：算出 24 小时后的天气，大约也用了 24 小时。今天的做法与理查森一脉相承：

• 放大：物理定律都写成偏微分方程（第 12 章），告诉我们每个格子“此刻”怎样变化。
• 切碎，再加起来：时间切成几分钟一步，每一步把变化率乘以步长、累加到当前状态上（第 10 章）。
• 规模：欧洲中期天气预报中心（ECMWF）的全球模式，水平格距约 9 公里，垂直方向分为 137 层。粗略算一下：地球表面约 5.1 亿平方公里，每格约 81 平方公里，约 630 万个“气柱”，再乘以 137 层，约 8.6 亿个格点——理查森的 64,000 人即使算上一辈子也跟不上。

进步是实实在在的。据气象学家鲍尔等人 2015 年在《自然》杂志上的综述（估算），数值预报的准确度大约每十年提前一天：今天的 5 天预报，和几十年前的 3 天预报差不多准。

那“降水概率 70%”又是什么意思？1961 年，气象学家洛伦茨在计算机模拟中偶然发现，大气模型对初始条件高度敏感，初值里微小的误差会随时间放大；他在 1963 年发表了这一发现。1972 年他的一次报告题为“巴西一只蝴蝶扇动翅膀，会在得克萨斯州引发龙卷风吗？”，“蝴蝶效应”由此得名。也是第 10 章说的“微分方程不是对未来的保证”。于是气象中心会把初始状态做几十种微小扰动，各算一遍，得到一组“集合预报”；再结合统计校正，给出概率。按美国国家气象局的定义，它指在规定时段内（比如某个 12 小时），预报区域里任意一点出现可测量降水的概率。直观地说：在类似的条件下，大约 10 次里有 7 次会下雨。

13.2地质勘测：听地下的回声

第 9 章讲了重力勘探，第 10 章讲了碳-14 测年。地质学家手里最强大的工具，是第三种：地震勘探。

最简单的情形里，深度 ≈ 波速 × 回波时间 ÷ 2。可是岩层的波速随深度变化，界面也高低起伏。真正的计算要用到第 12 章的波动方程：它描述声波在每一点怎样随时间变化。勘探公司做的是一个巨大的反问题——先猜一个地下结构，用波动方程模拟出“应该听到的回声”，与实际记录比较，再用第 12 章的梯度下降去修改猜测，直到模拟与实测吻合。这种方法叫“全波形反演”，计算量之大，让石油勘探长期是超级计算机的大用户。

同样的数学也在保护城市。地铁和高楼动工前，工程师用浅层地震和钻孔资料判断地下有没有溶洞、流沙；地震预警系统则利用两种地震波的速度差：纵波（P 波）每秒约 6 公里，横波（S 波）约 3.5 公里且破坏性更强。离震中 100 公里的城市，P 波约 17 秒到达，S 波约 29 秒到达，中间十来秒就是逃生时间。

13.3投资复利：时间才是指数的燃料

第 10 章已经回答：不会，上限是 e^r。拆细带来的差别很小，真正让复利显出威力的是时间。连续复利下，本金 P 在 t 年后变成 Pe^rt，t 在指数上。

年化 7% 时约每 10 年翻一倍（ln 2 ÷ 0.07 ≈ 9.9 年）。示例不代表任何产品的收益承诺。

表里有两个值得反思的地方。第一，利率从 3% 到 7%，差距看似只有 4 个百分点，40 年后结果却相差约 5 倍——因为差距在指数上被放大。第二，前 10 年的增长看起来平淡无奇，后 10 年才“起飞”。指数增长的曲线在早期几乎是平的，这让很多人过早放弃。

金融里另一个著名的微积分成果是 1973 年的布莱克–斯科尔斯公式，用来给期权定价。它把股价看作随机波动的量，推导出一个偏微分方程——形式上和第 12 章的热传导方程是近亲。1997 年，斯科尔斯和默顿因此获得诺贝尔经济学奖（布莱克已于 1995 年去世）。

13.4生物制药：一条曲线下的面积

第 11 章用几何级数回答了：药量会趋于稳态，不会无限累积；分次服用让浓度留在治疗窗里。现在看药厂怎样用微积分评价一种药。

这条曲线本身来自微分方程。药理学家把人体简化为几个“房室”（比如胃肠道和血液），写出药物在房室之间转移、被清除的速率方程：吸收的速度正比于胃肠道里剩下的药，清除的速度正比于血液里的药。解出来就是图中先升后降的曲线。

AUC 是一个积分：∫ C(t) dt，衡量身体在整个过程中“总共暴露于”多少药物（第 7 章表 7-2）。它在药品审批中举足轻重。仿制药要上市，必须证明与原研药生物等效：在健康受试者身上测量两者的 AUC 和 Cmax，其比值的 90% 置信区间必须落在 80% 到 125% 之间。你在药店买到的每一盒仿制药背后，都有一次这样的积分比较。

13.5供应链：平坦的谷底

第 6 章已经求出经济订货批量 Q* = √(2DS/H)。把成本曲线画出来，还能看到一个公式里看不到的道理。

真实的供应链比 EOQ 复杂得多：需求在波动，运输有延迟，一个仓库要为上千种商品同时决策。这时，导数的另一面开始发挥作用。著名的牛鞭效应说的是：零售端需求的一点小波动，传到批发商、厂家、原料商那里会越放越大。原因之一是每一级都在对下游订单的变化率作出反应，而且总想多备一点以防万一，于是每经过一级，波动都被放大一次。理解这一点的公司会共享终端销售数据，让上游看到真实的需求，而不是被放大过的订单。

13.6航空航天：从火箭方程到轨道

第 9 章从 dv = −v_e dm/m 积分得到了火箭方程。对数增长得太慢，单级火箭几乎不可能把有效载荷送入轨道，于是工程师想出了多级火箭：第一级燃料烧完就把沉重的空壳扔掉，第二级从一个更轻的起点重新开始“对数增长”。每一级的 Δv 相加，就能达到单级做不到的速度。

火箭进入太空后，它的运动由牛顿第二定律决定：加速度 = 引力 ÷ 质量。这是一个微分方程，轨道计算就是一步步对它积分。1962 年，美国宇航员格伦执行美国首次载人环绕地球轨道飞行前，坚持要求 NASA 的数学家凯瑟琳·约翰逊用台式机械计算器，把 IBM 电子计算机给出的轨道数据逐项核算一遍——她的故事后来被拍成了电影《隐藏人物》。今天，空间站的轨道维持、探测器的借力飞行、卫星星座的调度，依然是这件事的延续。

在大气层里，飞机的升力等于机翼表面每一处压力的积分；飞控计算机每秒数百次地读取加速度计，把加速度积分成速度、再积分成位置。每一次平稳的起降背后，都有无数次“切碎，再加起来”。

13.7更多：同一套思想，无数种面孔

• 医学影像：CT 从成千上万个角度的积分反推人体各处的密度（第 9 章）。
• 流行病：1927 年克马克和麦肯德里克提出 SIR 模型，用三个微分方程描述易感者、感染者、康复者之间的转移。它给出了“基本再生数” R₀ 的概念：R₀ > 1 时疫情扩散，< 1 时消退；群体免疫的门槛约为 1 − 1/R₀。
• 人工智能：梯度下降与反向传播（第 12 章）。
• 手机导航：芯片把加速度和角速度不断积分，在隧道里暂时没有卫星信号时推算你的位置。
• 新能源：电池管理系统对电流积分，估算“还剩多少电”。

回头看这张表，你会发现一个共同的结构：人们能直接写下的，是“每一刻、每一处怎样变化”；人们想知道的，是“整体会怎样”。放大，是为了写下局部的规律；切碎再加起来，是为了从局部拼出整体；而基本定理保证了这两者可以互相转换。

上一章留下的问题：工具可以借用，思维却要自己长出来。拥有与缺乏“微积分思维”，差别在哪里？

你也许永远不会亲手去解一个偏微分方程。天气预报有气象局，药物剂量有医生，火箭有工程师。那么，读完这本书，你的生活会有什么不同？

本章的回答是：微积分真正值得带走的，是一种看世界的方式。它由四个习惯组成。

14.1习惯一：放大看——复杂的东西，局部往往简单

面对一个复杂的问题，先问：在足够小的范围里，它像什么简单的东西？

一个大项目看起来无从下手，但它的下一周往往是清楚的；一个非线性的系统难以预测，但在工作点附近可以当作线性处理。这是“放大看，曲线就变直”的日常版本。

它同时带着一条警告：局部的直线不能无限延长。把过去三个月的趋势画成直线外推十年，就是把切线当成了曲线。线性近似的价值，恰恰在于你知道它在哪里失效。

14.2习惯二：看变化率，而不只看数值

缺乏这个习惯的人看“水平”：今天多少钱，这个月多少人。拥有它的人还会看变化率和变化率的变化率：它在涨还是在跌？涨得越来越快还是越来越慢？

经济学里的“边际”就是导数：再多生产一件，成本多多少；再多学一小时，成绩多多少。很多决策的关键不在于总量，而在于边际——当边际收益降到边际成本以下，就该停了。

14.3习惯三：区分“流量”和“存量”——总量是累积出来的

浴缸里的水量是存量，水龙头的流速和下水口的流速是流量。存量是净流量的积分。这个区分简单，却常常被忽视。

积分思维还提醒我们：微小的流量，经过足够长的时间，会累积成巨大的存量。每天多读 20 页书，一年约 7300 页，二三十本书；第 13 章的复利表里，40 年的差距大部分出现在最后十几年。

14.4习惯四：逼近与误差——够用，并且知道差多少

极限教会我们：无法一步到达的东西，可以通过无穷多个小步逼近；而逼近的每一步，都应当知道自己离目标还差多少。

这个习惯让人既不完美主义，也不草率。第 13 章的订货问题里，最优点附近的成本曲线很平：偏离 20%，成本只多 2.5%。许多决策都是如此，在最优点附近不必苛求，要防的是大偏差。第 11 章的泰勒级数则说明：一个好的近似，一定附带一个误差估计。

14.5有与没有的差别

14.6回到速度表上的 72

现在，让我们回到本书的第一页：速度表上那个“此刻 72 公里/小时”。

开篇时，它是一个悖论：一瞬间走 0 米、用 0 秒，0 ÷ 0 没有意义。现在你可以这样解释它：在那一刻前后取越来越短的时间段，平均速度去往的那个数是 72——它是一个极限，是位置曲线在那一点的切线斜率，是导数。你还知道，把这块表每一刻的读数“切碎再加起来”，就得到里程表上的数字；而这两块表之间的关系，就是微积分基本定理。

再回想那两个年轻人。一个在英格兰乡间从运动出发，一个在巴黎从数学新手起步；走的路不同，看到的却是同一座山。他们后来为“谁先登顶”争论了多年，可站在三百年后回看，更值得记住的是另一件事：微积分本身，就是一个积分。芝诺提出问题，阿基米德和刘徽切片逼近，开普勒、卡瓦列里、费马、巴罗各自摸到边角，牛顿和莱布尼茨看清了那座桥，柯西和魏尔斯特拉斯打牢了地基——无数人的微小贡献，在两千年里一点一点累加成了今天的总量。

1676 年初（当时英国用旧历，记为 1675 年），牛顿在给胡克的信里写下那句名言：“如果说我看得更远，那是因为我站在巨人的肩膀上。”这句话，正是积分的精神。读完这本书，你也站到了这些巨人的肩膀上。

14.7核心贡献

1. 微积分只回答两个问题。此刻变得多快（导数）？一共变了多少（积分）？麻烦只来自“不均匀”。
2. 放大看，曲线就变直。光滑的变化在足够小的尺度上是线性的；导数就是那条直线的斜率，极限让“一瞬间”有了严格的意义。
3. 切成碎片，再加起来。不均匀的总量，切成近似均匀的小块，逐块相乘再求和；积分就是这个过程的极限。
4. 变化率与总量，是同一件事的两面。基本定理把无穷求和变成一次减法，把两千年的难题变成标准算法。
5. 从规律推出未来。微分方程只写“每一刻怎样变”，给定起点，就能一步步算出天气、药量、轨道。
6. 它是一种思维。看局部、看变化率、分清流量与存量、带着误差逼近——这四个习惯，在读完这本书之后仍然有用。

14.8留给你的问题

1. 你的工作或生活里，哪一个指标你一直只看“数值”，却从没看过它的“变化率”？如果开始看，你的判断会变吗？
2. 找一个你关心的“存量”（存款、体重、技能、信任）。它的流入和流出分别是什么？净流量现在是正还是负？
3. 最近一次你把短期趋势直线外推，结果错了吗？那条“切线”在哪里开始偏离了曲线？
4. 你正在纠结的某个决定，最优点附近是平坦的还是陡峭的？如果是平坦的，你是否在为一点点差距付出过多的精力？
5. 莱布尼茨的符号让千千万万后来者更轻松地思考。在你的领域里，你能做的哪件小事，能像一个好符号那样，让更多人用上一个好想法？

14.9术语小词典

函数

每个输入对应唯一输出的规则（第 3 章）

斜率 / 变化率

输出的变化 ÷ 输入的变化，单位里有个“每”（第 3 章）

极限

一个过程“去往”的确定的数，不要求真的到达（第 4 章）

连续

极限值等于实际值；笔不离纸（第 4 章）

导数

平均变化率的极限；切线斜率；瞬时速度（第 5 章）

链式法则

变化率沿链条相乘：dy/dx = dy/du · du/dx（第 5 章）

中值定理

必有一刻的瞬时变化率等于平均变化率（第 6 章）

定积分

切成细条、逐条相乘、全部相加的极限（第 7 章）

基本定理

求导与积分互为逆运算；∫_a^b f = F(b) − F(a)（第 8 章）

原函数

导数等于 f 的函数，彼此相差常数 C（第 8 章）

反常积分

积分区间无限长或函数无界时，用极限定义的积分（第 9 章）

e

(1 + 1/n)ⁿ 的极限，约 2.71828；eˣ 的导数是它自己（第 10 章）

微分方程

描述“每一刻怎样变”的方程；加上起点即可推出未来（第 10 章）

泰勒级数

逐阶匹配导数，用多项式逼近函数（第 11 章）

偏导数 / 梯度

只动一个变量时的导数；最陡上坡的方向与坡度（第 12 章）

14.10符号读音表

本书用到的希腊字母与数学符号都汇总在这里。读音以国内课堂通行的英文读法为准，音标以剑桥、牛津词典的英式音标为主（nabla 常见词典未收，按拼写给出）；中文近似读音只是帮助记忆，和原音并不完全一样。

第 4 章说：好的近似，一定附带误差估计。一本书也一样，读者应当知道每个说法有多可靠。本附录把全书可以核查的陈述逐条列出，给出核查结论和出处。

附.1怎么核查的

• 核查时间：2026 年 9 月 30 日，联网逐条核对。
• 范围：共 95 条，分四组：A 牛顿与莱布尼茨（31 条）、B 数学史（25 条）、C 符号的来历与读音（15 条）、D 应用与数据（24 条）。
• 来源优先级：一手文献与官方机构（原书全文、诺贝尔奖官网、NASA、ECMWF、EMA、威斯敏斯特教堂官网）优先；其次是专业数学史资料（圣安德鲁斯大学 MacTutor 数学史档案、Jeff Miller《数学符号的最早使用》、Cajori《数学史》、《英国人名词典》）；再次是剑桥、牛津词典和维基百科（主要作为索引，并核对它所引用的文献）。
• 结论标记：属实 与来源一致；已修正 原文有误或不够准确，正文已按核查结果改写，说明栏写明改了什么；来源不足或互相矛盾的说法，一律改为保守表述或删去，并计入“已修正”，说明栏会写明原因。

23 处修正多数是细节：年份（黎曼论文的发表年、牛顿那封信的新旧历）、归属（1705 年那篇匿名书评）、措辞强度（英国“落后一个世纪”、矿体重力异常的量级），以及此前说得太满的轶事（理查森的“球形大厅”、洛必达“付费听课”）。没有一处修正改变全书的核心论证。

附.2A 组：牛顿与莱布尼茨

附.3B 组：数学史

附.4C 组：符号的来历与读音

附.5D 组：应用与数据